例题 1.4 (实多项式)

用 ${\mathbb{R}}_n\left[x\right]$ 表示 $x$ 的以 $\mathbb{R}$ 中元素为系数的次数小于 $n$ 的多项式以及零多项式组成的集合. 在 ${\mathbb{R}}_n\left[x\right]$ 中把多项式的加法作为我们的加法. 设

$$f\left(x\right)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1},$$

而 $k\in \mathbb{R}$,则数乘规定为

$$kf\left(x\right)=k{a}_0+k{a}_{1}x+\cdots +k{a}_{n-1}{x}^{n-1}.$$

容易验证 (1)-(8) 成立,所以 ${\mathbb{R}}_n\left[x\right]$ 在上述运算下是一个线性空间.