例题 1.6. (正实数)

令 $\mathbb{R}$ 表示实数域, 令 $V={\mathbb{R}}^{+}$, 即 $V$ 是由全体正实数组成的集合. 在 $V$ 中规定加法 $\oplus$ 和数乘 $\odot$ 为

$$x\oplus y=xy,x,y\in V$$ $$k\odot x=x^k,k\in \mathbb{R},x\in V.$$

即 $x,y$ 在运算 $\oplus$ 下的 “和” 为 $x,y$ 在通常实数乘法下的积 (例如 $3\oplus 5=15$ ), 而 $k\in \mathbb{R}$ 与 $x\in V$ 经数乘 $\odot$ 的结果是 $x$ 的 $k$ 次方 (如 $3\odot 5=125$ ). 由实数乘法的交换律和结合律知 $\left(1\right),\left(2\right)$ 成立. 实数 1 对任何 $x\in {\mathbb{R}}^{+}$ 都满足 $1\oplus x=x$, 故 1 可充当 (3) 中的零向量. 同样 $x^{-1}$ 可充当 $x$ 的负向量. 由指数函数的性质可推出 (5)-(8) 成立. 故 $V$ 在运算 $\oplus ,\odot$ 下成为实数域上的线性空间.