例题 1.9. (解空间)

$n$ 元实系数齐次线性方程组 $\mathbf{AX}=0$ 的解 $\left(c_1,c_2,\cdots ,c_n\right)$ 可视为 ${\mathbb{R}}^n$ 的向量. 其全部解构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个子集合 $W$. 由于 $\left(0,0\cdots ,0\right)$ 为解,故 $W$ 非空. 两个解的和以及数乘还是解. 于是我们得到了一个重要结论: 一个 $n$ 元实系数齐次线性方程组的解的集合对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的加法和数乘封闭,它构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间, 我们称之为齐次线性方程组的解空间.

$n$ 元实系数非齐次线性方程组 $\mathbf{AX}=\mathbf{b}\left(\mathbf{b}\ne 0\right)$ 解的集合不构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间.