例题 3.2. (数乘变换)

设 $V$ 为 $F$ 上的 $n$ 维线性空间. $\forall \alpha \in V,k\in F$,定义 $\sigma \left(\alpha \right)=k\alpha$, 则易验证 $\sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换,称为由数 $k$ 决定的数乘变换.

特别地,取 $k=0$,即 $\forall \alpha \in V$,定义 $\sigma \left(\alpha \right)=0$,即把 $V$ 中每个向量都映射成 $V$ 的零向量,此时变换称为零变换,记为 $\mathcal{O}$. 若定义 $\sigma \left(\alpha \right)=\alpha$ (即取 $k=1$ ),常称为恒等变换或单位变换,记为 $\mathcal{E}$.