1. 线性变换的定义

定义 3.1 (线性变换)

设 $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间, $\sigma$ 是 $V$ 到 $V$ 自身的一个映射. 如果 $\sigma$ 满足

1. 对任意的 $\alpha ,\beta \in V$,都有 $\sigma \left(\alpha +\beta \right)=\sigma \left(\alpha \right)+\sigma \left(\beta \right)$ ;
2. 对任意的 $\alpha \in V,k\in F$,都有 $\sigma \left(k\alpha \right)=k\sigma \left(\alpha \right)$, 则称 $\sigma$ 为线性空间 $V$ 的一个线性变换.

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在定义中, (1) 要求对 $V$ 中的向量 $\alpha ,\beta$ 而言,它们的和在 $\sigma$ 下的像等于它们像的和. 这一事实称为 $\sigma$ 保持加法; (2) 要求向量 $\alpha$ 与 $k$ 的数乘的像等于 $\alpha$ 的像与 $k$ 的数乘. 这一事实称 $\sigma$ 保持数乘.

例题 3.1 (投影变换)

设在空间中建立了直角坐标系, 全体从原点出发的向量组成了三维线性空间 $V$,令

$$\sigma :\left(x,y,z\right)\to \left(x,y,0\right)$$

则 $\sigma$ 是 $V$ 的线性变换, 常称为投影变换, 它的几何意义是把向量 $\alpha$ 投影到 $xOy$ 平面上.

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例题 3.2. (数乘变换)

设 $V$ 为 $F$ 上的 $n$ 维线性空间. $\forall \alpha \in V,k\in F$,定义 $\sigma \left(\alpha \right)=k\alpha$, 则易验证 $\sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换,称为由数 $k$ 决定的数乘变换.

特别地,取 $k=0$,即 $\forall \alpha \in V$,定义 $\sigma \left(\alpha \right)=0$,即把 $V$ 中每个向量都映射成 $V$ 的零向量,此时变换称为零变换,记为 $\mathcal{O}$. 若定义 $\sigma \left(\alpha \right)=\alpha$ (即取 $k=1$ ),常称为恒等变换或单位变换,记为 $\mathcal{E}$.

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例题 3.3. (微分变换)

设 $V={\mathbb{R}}_n\left[x\right]$ 为次数小于 $n$ 的实系数多项式以及零多项式组成的线性空间, 则求导数运算

$$\mathcal{D}:f\left(x\right)\to f^{\prime }\left(x\right)$$

是 $V$ 的线性变换,称为微分变换.

证明 对任意的 $f\left(x\right),g\left(x\right)\in V,k\in \mathbb{R}$ 有

$$\mathcal{D}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)={\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)}^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)+g^{\prime }\left(x\right)=\mathcal{D}\left(f\left(x\right)\right)+\mathcal{D}\left(g\left(x\right)\right).$$ $$\mathcal{D}\left(kf\left(x\right)\right)={\left(kf\left(x\right)\right)}^{\prime }=k{f}^{\prime }\left(x\right)=k\mathcal{D}\left(f\left(x\right)\right).$$

故它是 ${\mathbb{R}}_n\left[x\right]$ 的线性变换.

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