例题 3.3. (微分变换)

设 $V={\mathbb{R}}_n\left[x\right]$ 为次数小于 $n$ 的实系数多项式以及零多项式组成的线性空间, 则求导数运算

$$\mathcal{D}:f\left(x\right)\to f^{\prime }\left(x\right)$$

是 $V$ 的线性变换,称为微分变换.

证明 对任意的 $f\left(x\right),g\left(x\right)\in V,k\in \mathbb{R}$ 有

$$\mathcal{D}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)={\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)}^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)+g^{\prime }\left(x\right)=\mathcal{D}\left(f\left(x\right)\right)+\mathcal{D}\left(g\left(x\right)\right).$$ $$\mathcal{D}\left(kf\left(x\right)\right)={\left(kf\left(x\right)\right)}^{\prime }=k{f}^{\prime }\left(x\right)=k\mathcal{D}\left(f\left(x\right)\right).$$

故它是 ${\mathbb{R}}_n\left[x\right]$ 的线性变换.