例题 3.4. (投影变换的矩阵表示)

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中,取基 ${\epsilon }_1=\left(1,0,0\right),{\epsilon }_2=\left(0,1,0\right),{\epsilon }_3=\left(0,0,1\right)$, 对于例题 3.1 中的投影变换 $\sigma$,求 $\sigma$ 在 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 下的矩阵.

实际上,对投影变换 $\sigma$ 有

$$\sigma \left({\epsilon }_1\right)=\left(1,0,0\right)={\epsilon }_1,\sigma \left({\epsilon }_2\right)=\left(0,1,0\right)={\epsilon }_2,\sigma \left({\epsilon }_3\right)=\left(0,0,0\right)=0,$$

故 $\sigma$ 在这组基下的矩阵为 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$.