例题 3.6. (微分变换的像)

设 $\mathcal{D}$ 是实线性空间 ${\mathbb{R}}_n\left[x\right]$ 的微商变换. 取基 $1,x,x^2,\cdots ,x^{n-1}$, 则 $\mathcal{D}$ 在这组基下的矩阵 (参见例题 3.5) 为

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lllll}0& 1& & & \\ & 0& 2& & \\ & & 0& \ddots & \\ & & & \ddots & n-1\\ & & & & 0\end{array}\right).$$

取多项式 $f\left(x\right)=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^{n-1}$,则 $\mathcal{D}\left(f\left(x\right)\right)$ 在这组基下的坐标为

$$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& & & \\ & 0& 2& & \\ & & 0& \ddots & \\ & & & \ddots & n-1\\ & & & & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ ⋮\\ n-1\\ 0\end{array}\right).$$

因此, $\mathcal{D}\left(f\left(x\right)\right)=1+2x+3x^2+\cdots +\left(n-1\right)x^{n-2}$. 这显然与直接求微商的结果一致.