例题 3.7. (线性变换在不同基下的表示)

设 $V$ 为实数域上的三维线性空间, ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 和 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 都是 $V$ 的基,并且

$${\beta }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$$ $${\beta }_2=\frac{1}{5}{\alpha }_1+\frac{1}{5}{\alpha }_2$$ $${\beta }_3={\alpha }_2+{\alpha }_3$$

今设 $\sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换. 设 $\sigma$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 下的矩阵为

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}1& -2& 2\\ 2& 2& -3\\ 2& 3& -4\end{array}\right)$$

求 $\sigma$ 在基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 下的矩阵.

解

设 $\sigma$ 在基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 下的矩阵为 $\mathbf{B}$. 基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 的过渡矩阵为

$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{lll}1& \frac{1}{5}& 0\\ 1& \frac{1}{5}& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

于是

$$\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$$

由此可知, $\sigma \left({\beta }_1\right)={\beta }_1,\sigma \left({\beta }_2\right)=-{\beta }_2+{\beta }_3,\sigma \left({\beta }_3\right)=-{\beta }_3$.