定义 1.1. (线性空间)

设 $F$ 为一个数域, $V$ 为一个非空集合. 设在 $V$ 中定义了加法和数乘两种运算

• 对 $V$ 中任意的排好次序的两个元素 $\alpha ,\beta$,有 $V$ 中唯一的一个元素 $\gamma$ 与之对应, $\gamma$ 称为 $\alpha ,\beta$ 之和,记为 $\gamma =\alpha +\beta$ ;
• 同时对数域 $F$ 中任意数 $k$ 与 $V$ 中任意元素 $\alpha$,有 $V$ 中唯一的元素 $\delta$ 与之对应, $\delta$ 称为 $k$ 与 $\alpha$ 的数乘,记为 $\delta =k\alpha$ 并且满足以下八个条件:

1. 加法交换律: 对一切 $\alpha ,\beta \in V,\alpha +\beta =\beta +\alpha$ ;
2. 加法结合律: 对一切 $\alpha ,\beta ,\gamma \in V,\left(\alpha +\beta \right)+\gamma =\alpha +\left(\beta +\gamma \right)$ ;
3. 在 $V$ 中有一个向量 0,它对每个 $\alpha \in V$ 均有 $\alpha +0=\alpha$ ;
4. 若 $\alpha \in V$,则存在 $\beta \in V$,使 $\alpha +\beta =0$ ;
5. 数域 $F$ 中元素 1 与每个 $\alpha \in V$ 的数乘都是 $\alpha$ 本身: $1\alpha =\alpha$ ;
6. 若 $k,\ell \in F$,而 $\alpha \in V$,则 $k\left(\ell \alpha \right)=\left(k\ell \right)\alpha$ ;
7. 若 $k,\ell \in F$,而 $\alpha \in V$,则 $\left(k+\ell \right)\alpha =k\alpha +\ell \alpha$ ;
8. 若 $k\in F$,而 $\alpha ,\beta \in V$,则 $k\left(\alpha +\beta \right)=k\alpha +k\beta$,

则 $V$ 称为 $F$ 上的线性空间, $V$ 中元素称为向量, (3) 中的 0 称为零向量, 而 (4) 中的 $\beta$ 称为 $\alpha$ 的负向量.