定义 3.2. (线性变换的矩阵表示)

设 $V$ 为 $F$ 上的 $n$ 维线性空间, $\sigma$ 为 $V$ 的线性变换. 设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 为 $V$ 中的一组基,则基向量在 $\sigma$ 下的像可以被基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 线性表出, 如果设

$$\{\begin{array}{c}\sigma \left({\epsilon }_1\right)=a_{11}{\epsilon }_1+a_{21}{\epsilon }_2+\cdots +a_{n1}{\epsilon }_n,\\ \sigma \left({\epsilon }_2\right)=a_{12}{\epsilon }_1+a_{22}{\epsilon }_2+\cdots +a_{n2}{\epsilon }_n,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \sigma \left({\epsilon }_n\right)=a_{1n}{\epsilon }_1+a_{2n}{\epsilon }_2+\cdots +a_{nn}{\epsilon }_n,\end{array}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

则 $n$ 阶方阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

称为线性变换 $\sigma$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 下的矩阵. 其中 $\mathbf{A}$ 的第 $j$ 列就是基向量 ${\epsilon }_j$ 的像 $\sigma \left({\epsilon }_j\right)$ 在这组基下的坐标.