定理 2.1 (过渡矩阵 坐标变换)

设 $n$ 维线性空间 $V$ 的基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 的过渡矩阵为 $C$, 则 $C$ 是可逆矩阵. 若向量 $\alpha \in V$ 在这两组基下的坐标分别是 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$, $\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$, 令 $\mathbf{X}={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\mathrm{T}}$ 和 $\mathbf{Y}={\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)}^{\mathrm{T}}$, 则

$$X=CY\text{ 或 }Y=C^{-1}X.$$