3. 基变换和坐标变换公式

由 例题 2.1 (欧式空间的标准基) 可知, 一个线性空间有不同的基. 一般而言, 线性空间的同一个向量在不同基下有不同的坐标, 这里我们讨论坐标之间的关系.

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 和 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 都是 $V$ 的基, $\alpha$ 为 $V$ 的一个向量,设 $\alpha$ 在 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的坐标为 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$, 在 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 下的坐标为$\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$

坐标之间的关系显然由两组基之间的关系决定. 由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为基, 故每个 ${\beta }_j$ 可以表示为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 的线性组合. 设

$$\{\begin{array}{c}{\beta }_1=c_{11}{\alpha }_1+c_{21}{\alpha }_2+\cdots +c_{n1}{\alpha }_n,\\ {\beta }_2=c_{12}{\alpha }_1+c_{22}{\alpha }_2+\cdots +c_{n2}{\alpha }_n,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {\beta }_n=c_{1n}{\alpha }_1+c_{2n}{\alpha }_2+\cdots +c_{nn}{\alpha }_n,\end{array}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

我们把矩阵

$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

称为由基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 的过渡矩阵. 利用矩阵的乘法,两组基的关系可形式地表示为

$$\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right)=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\mathbf{C},$$

称为基变换公式. 另一方面,我们也可用矩阵写法表示 $\alpha$ 在两组基下的坐标,即

$$\alpha =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\mathbf{X}=\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right)\mathbf{Y},$$

这里

$$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\mathbf{Y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$$

因此

$$\begin{array}{rl}\alpha & =\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right)\mathbf{Y}\\ & =\left(\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\mathbf{C}\right)\mathbf{Y}\\ & =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\left(\mathbf{CY}\right).\end{array}$$

但 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是基,因而线性无关. 由坐标的唯一性,得到 $\mathbf{X}=\mathbf{CY}$,即

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\mathbf{C}\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

亦即

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=c_{11}{y}_1+c_{12}{y}_2+\cdots +c_{1n}{y}_n\\ x_2=c_{21}{y}_1+c_{22}{y}_2+\cdots +c_{2n}{y}_n\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_n=c_{n1}{y}_1+c_{n2}{y}_2+\cdots +c_{nn}{y}_n\end{array}\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

式 (2.4) 或 (2.5) 称为坐标变换公式.

最后,我们断言由基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 的 过渡矩阵是可逆矩阵.

综上, 有下述定理.

定理 2.1 (过渡矩阵 坐标变换)

设 $n$ 维线性空间 $V$ 的基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 的过渡矩阵为 $C$, 则 $C$ 是可逆矩阵. 若向量 $\alpha \in V$ 在这两组基下的坐标分别是 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$, $\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$, 令 $\mathbf{X}={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\mathrm{T}}$ 和 $\mathbf{Y}={\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)}^{\mathrm{T}}$, 则

$$X=CY\text{ 或 }Y=C^{-1}X.$$Link to original