定理 3.1. (线性变换的像的坐标)

设线性变换 $\sigma$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 下的矩阵为 $A$, 向量 $\alpha$ 在这组基下的坐标是 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$, 则 $\sigma \left(\alpha \right)$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 下的坐标 $(y_1,y_2,\cdots$, $y_n)$ 可以按下列公式

$$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)=\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

计算.

证明

由条件知,

$$\alpha =\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$ $$\sigma \left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)=\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)A$$

所以

$$\sigma \left(\alpha \right)=\left(\sigma \left({\epsilon }_1\right),\sigma \left({\epsilon }_2\right),\cdots ,\sigma \left({\epsilon }_n\right)\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right).$$

另一方面, 由假设知

$$\sigma \left(\alpha \right)=\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right).$$

由于 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 线性无关,所以

$$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)=\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$