定理 3.2. (线性变换在不同基下的表示矩阵相似)

设 $F$ 上的 $n$ 维线性空间的线性变换 $\sigma$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 下的矩阵为 $\mathbf{A}$,在基 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$ 下的矩阵为 $\mathbf{B}$,且由基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 到基 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$ 的过渡矩阵为 $\mathbf{P}$,那么

$$B=P^{-1}AP\text{.}$$

证明

由条件知道,

$$\sigma \left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)=\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)A,$$ $$\sigma \left({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n\right)=\left({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n\right)\mathbf{B},$$ $$\left({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n\right)=\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)\mathbf{P},$$

于是

$$\sigma \left({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n\right)=\sigma \left[\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)\mathbf{P}\right]=\left[\sigma \left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)\right]\mathbf{P}$$ $$=\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n\right)\mathbf{AP}=\left({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n\right){\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}.$$

因为线性变换 $\sigma$ 在基 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$ 下的矩阵唯一确定,所以 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$.