性质3 (线性变换 保 线性相关)

若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s\in V$ 线性相关,则 $\sigma \left({\alpha }_1\right),\sigma \left({\alpha }_2\right)\cdots ,\sigma \left({\alpha }_s\right)$ 也线性相关.

设有不全为 0 的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_s$,使 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$,则

$$\sigma \left(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s\right)=\sigma \left(0\right)=0,$$

即

$$k_1\sigma \left({\alpha }_1\right)+k_2\sigma \left({\alpha }_2\right)+\cdots +k_s\sigma \left({\alpha }_s\right)=0,$$

这说明 $\sigma \left({\alpha }_1\right),\sigma \left({\alpha }_2\right),\cdots ,\sigma \left({\alpha }_s\right)$ 线性相关.