2. 线性变换的简单性质

线性空间 $V$ 的线性变换 $\sigma$ 有下列初等性质:

性质1 (线性变换 保零 保负)

性质2 (线性变换 保 线性关系)

性质3 (线性变换 保 线性相关)

注意, 性质 (3) 的逆命题不成立, 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组, 比如零变换.

性质4 (像空间是线性子空间)

性质5 (核空间是线性子空间)

关于 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换的值域和核, 我们不加证明地给出以下结果:

性质 (像空间维数 与 核空间维数)

$$\dim \left(\sigma \left(V\right)\right)+\dim \left(\mathrm{Ker}\left(\sigma \right)\right)=n.$$Link to original