性质4 (像空间是线性子空间)

设 $\sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换, $\sigma$ 的像集

$$\sigma \left(V\right)=\{\beta \mid \beta =\sigma \left(\alpha \right),\alpha \in V\}$$

它是 $V$ 的一个线性子空间,称为 $\sigma$ 的值域或像空间.

显然 $0\in \sigma \left(V\right)$,故 $\sigma \left(V\right)$ 为 $V$ 的非空子集. 任取 ${\beta }_1,{\beta }_2\in \sigma \left(V\right)$,则存在 ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in V$,使得 $\sigma \left({\alpha }_1\right)={\beta }_1,\sigma \left({\alpha }_2\right)={\beta }_2$,则

$${\beta }_1+{\beta }_2=\sigma \left({\alpha }_1\right)+\sigma \left({\alpha }_2\right)=\sigma \left({\alpha }_1+{\alpha }_2\right)\in \sigma \left(V\right),$$ $$k{\beta }_1=k\sigma \left({\alpha }_1\right)=\sigma \left(k{\alpha }_1\right)\in \sigma \left(V\right).$$

因此, $\sigma \left(V\right)$ 为 $V$ 的一个子空间.