过渡矩阵是可逆矩阵

理由如下: 考虑 $n$ 元齐次线性方程组 $\mathbf{CX}=0$,若能证明它只有零解,则 $r\left(\mathbf{C}\right)=n$,从而 $\mathbf{C}$ 可逆. 设

$${\mathbf{X}}_0=\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right)$$

是 $CX=0$ 的解,则

$$\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right){\mathbf{X}}_0=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\left(\mathbf{C}{\mathbf{X}}_0\right)=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)=0.$$

即 $k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2+\cdots +k_n{\beta }_n=0$ 成立,而 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 是线性空间 $V$ 的一组基,它们线性无关,故 $k_1=k_2=\cdots =k_n=0$. 故 $r\left(\mathbf{C}\right)=n$,从而 $\mathbf{C}$ 可逆.