例 2.24

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵,求证: ${\left(AB\right)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$ .

证明 设 $\mathbf{C}=\mathbf{AB}$ . 记 $M_{ij},N_{ij},P_{ij}$ 分别是 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$ 中第 $\left(i,j\right)$ 元素的余子式, $A_{ij},B_{ij},C_{ij}$ 分别是 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$ 中第 $\left(i,j\right)$ 元素的代数余子式. 注意到

$${\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right),{\mathbf{B}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{21}& \cdots & B_{n1}\\ B_{12}& B_{22}& \cdots & B_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ B_{1n}& B_{2n}& \cdots & B_{nn}\end{array}\right)$$

${\mathbf{B}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }$ 的第 $\left(i,j\right)$ 元素为

$$\sum _{k=1}^n{B}_{ki}{A}_{jk}$$

而 ${\mathbf{C}}^{\ast }$ 的第 $\left(i,j\right)$ 元素就是 $C_{ji}={\left(-1\right)}^{j+i}{P}_{ji}$ . 由 Cauchy-Binet 公式可得

$$C_{ji}={\left(-1\right)}^{j+i}{P}_{ji}={\left(-1\right)}^{j+i}\sum _{k=1}^n{M}_{jk}{N}_{ki}$$ $$=\sum _{k=1}^n{\left(-1\right)}^{j+k}{M}_{jk}{\left(-1\right)}^{i+k}{N}_{ki}=\sum _{k=1}^n{A}_{jk}{B}_{ki},$$

故结论成立.