例 2.25

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵, $c$ 为常数,求证:

(1) ${\left({\mathbf{A}}^{\prime }\right)}^{\ast }={\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right)}^{\prime }$ ; (2) ${\left(c\mathbf{A}\right)}^{\ast }=c^{n-1}{\mathbf{A}}^{\ast }$ ;

(3) 若 $\mathbf{A}$ 为可逆矩阵,则 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 也可逆,并且 ${\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right)}^{-1}={\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\ast }$ .

证明 (1) 和 (2) 由伴随矩阵的定义以及行列式的性质即得.

(3) 由例 2.24 可得

$$\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right){\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\ast }={\left({\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}\right)}^{\ast }={\mathbf{I}}_n^{\ast }={\mathbf{I}}_n,$$

从而 ${\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right)}^{-1}={\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\ast }$ .