例 2.27

设 $\mathbf{A}$ 为 $n\left(n>2\right)$ 阶矩阵,求证: ${\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right)}^{\ast }={\left|\mathbf{A}\right|}^{n-2}\mathbf{A}$ .

证明 若 $\mathbf{A}$ 可逆,则在关系式 ${\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=\left|\mathbf{A}\right|{\mathbf{I}}_n$ 的两边同取伴随并由例 2.24 可得

$${\mathbf{A}}^{\ast }{\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right)}^{\ast }={\left({\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}\right)}^{\ast }={\left(\left|\mathbf{A}\right|{\mathbf{I}}_n\right)}^{\ast }={\left|\mathbf{A}\right|}^{n-1}{\mathbf{I}}_n.$$

而 ${\mathbf{A}}^{\ast }=\left|\mathbf{A}\right|{\mathbf{A}}^{-1}$ ,代入即可解得 ${\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right)}^{\ast }={\left|\mathbf{A}\right|}^{n-2}\mathbf{A}$ .

若 $\mathbf{A}$ 不可逆,即 $\left|\mathbf{A}\right|=0$ ,则存在可逆矩阵 $\mathbf{P},\mathbf{Q}$ ,使 $\mathbf{PAQ}=\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{ll}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)$ , 其中 $r<n$ . 与例 2.26 类似的讨论可得 ${\mathbf{\Lambda }}^{\ast \ast }=\mathbf{O}$ ,从而

$$O={\left(PAQ\right)}^{\ast \ast }=P^{\ast \ast }{A}^{\ast \ast }{Q}^{\ast \ast }.$$

由例 2.25 知 ${\mathbf{P}}^{\ast \ast },{\mathbf{Q}}^{\ast \ast }$ 都是可逆矩阵,因此 ${\mathbf{A}}^{\ast \ast }=\mathbf{O}={\left|\mathbf{A}\right|}^{n-2}\mathbf{A}$ 仍然成立. [