例 2.28

设 $A$ 为 $m$ 阶矩阵, $B$ 为 $n$ 阶矩阵,求分块对角阵 $C$ 的伴随矩阵:

$$C=\left(\begin{array}{ll}A& O\\ O& B\end{array}\right)$$

解 设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{m\times m}$ ,元素 $a_{ij}$ 的余子式和代数余子式分别记为 $M_{ij}$ 和 $A_{ij}$ ; $\mathbf{B}={\left(b_{ij}\right)}_{n\times n}$ ,元素 $b_{ij}$ 的余子式和代数余子式分别记为 $N_{ij}$ 和 $B_{ij}$ . 利用 Laplace 定理可以容易地计算出: 当 $1\le i,j\le m$ 时, $\mathbf{C}$ 的第 $\left(i,j\right)$ 元素的代数余子式为 ${\left(-1\right)}^{i+j}{M}_{ij}\left|\mathbf{B}\right|=\left|\mathbf{B}\right|A_{ij}$ ; 当 $m+1\le i,j\le m+n$ 时, $\mathbf{C}$ 的第 $\left(i,j\right)$ 元素的代数余子式为 ${\left(-1\right)}^{i+j}{N}_{i-m,j-m}\left|\mathbf{A}\right|=\left|\mathbf{A}\right|B_{i-m,j-m}$ ; 当 $i,j$ 属于其他范围时, $\mathbf{C}$ 的第 $\left(i,j\right)$ 元素的代数余子式等于零. 因此我们有

$${\mathbf{C}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}\left|\mathbf{B}\right|{\mathbf{A}}^{\ast }& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \left|\mathbf{A}\right|{\mathbf{B}}^{\ast }\end{array}\right).$$