例 2.30

已知 $n$ 阶矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}2& 2& 2& \cdots & 2\\ 0& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& 0& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$$

求 $\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}$ .

解 用初等变换不难求出

$${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc}\frac{1}{2}& -1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& -1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& -1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right)$$

而 ${\mathbf{A}}^{\ast }=\left|\mathbf{A}\right|{\mathbf{A}}^{-1}$ . 不难看出 $\left|\mathbf{A}\right|=2$ ,所以

$${\mathbf{A}}^{\ast }=2{\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc}1& -2& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 2& -2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2& -2\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 2\end{array}\right).$$

将 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 的所有元素加起来,就是所要求的值:

$$\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}=1$$