例 2.31

求证: $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 是奇异矩阵的充要条件是存在不为零的同阶方阵 $\mathbf{B}$ ,使 $\mathbf{AB}=\mathbf{O}$ .

证明 显然若 $\mathbf{A}$ 可逆,从 $\mathbf{AB}=\mathbf{O}$ 可得到 $\mathbf{B}=\mathbf{O}$ ,因此充分性成立.

反之,若 $\mathbf{A}$ 是奇异矩阵,则存在可逆矩阵 $\mathbf{P},\mathbf{Q}$ ,使 $\mathbf{PAQ}=\left(\begin{array}{ll}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)$ ,其中 $r<n$ . 令 $C=\left(\begin{array}{cc}O& O\\ O& I_{n-r}\end{array}\right)$ ,则 $PAQC=O$ . 又因为 $P$ 可逆,故 $AQC=O$ . 只要令 $\mathbf{B}=\mathbf{QC}$ 就得到了结论.