例 2.32

求证: $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 是奇异矩阵的充要条件是存在 $n$ 维非零列向量 $\mathbf{x}$ , 使 $Ax=0$ .

证明 显然若 $\mathbf{A}$ 可逆,从 $\mathbf{Ax}=0$ 可得到 $\mathbf{x}=0$ ,因此充分性成立.

反之,若 $\mathbf{A}$ 是奇异矩阵,则存在可逆矩阵 $\mathbf{P},\mathbf{Q}$ ,使 $\mathbf{PAQ}=\left(\begin{array}{ll}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)$ ,其中 $r<n$ . 令 $\mathbf{y}={\left(0,\cdots ,0,1\right)}^{\prime }$ 为 $n$ 维列向量,则 $\mathbf{PAQy}=0$ . 又因为 $\mathbf{P}$ 可逆, 故 $AQy=0$ . 只要令 $x=Qy$ 就得到了结论.

例 2.32 可以用来判定矩阵是否非异, 这个判定准则在有些时候特别有用.