例 2.33

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵,证明: ${\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}$ 是非异阵.

证明 用反证法证明. 设 ${\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}$ 是奇异矩阵,则由例 2.32 可知存在 $n$ 维非零列向量 $\mathbf{x}$ ,使 $\left({\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right)\mathbf{x}=0$ ,即 $\mathbf{Ax}=\mathbf{x}$ . 事实上,通过例 2.32 的证明还可以知道, 因为 $\mathbf{A}$ 是实矩阵,所以非异阵 $\mathbf{P},\mathbf{Q}$ 可以取为实矩阵,从而 $\mathbf{x}$ 也可取为非零实列向量. 设 $\mathbf{x}={\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)}^{\prime }$ ,其中 $a_i$ 都是实数,则由 $\mathbf{A}$ 的反对称性以及例 2.3 可得

$$0={\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{Ax}={\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2,$$

从而 $a_1=a_2=\cdots =a_n=0$ ,即 $\mathbf{x}=0$ ,这与已知矛盾.