例 2.34

设矩阵 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵,求证: 只用第三类初等变换就可以将 $\mathbf{A}$ 化为如下形状:

$$\mathrm{diag}\{1,1,\cdots ,\left|\mathbf{A}\right|\}\text{.}$$

证明 假定 $\mathbf{A}$ 的第 $\left(1,1\right)$ 元素等于零,因为 $\mathbf{A}$ 可逆,第一行必有元素不为零. 用第三类初等变换将非零元素所在的列加到第一列,则得到的矩阵中第 $\left(1,1\right)$ 元素不为零. 因此不妨设 $\mathbf{A}$ 的第 $\left(1,1\right)$ 元素非零,于是可用第三类初等变换将 $\mathbf{A}$ 的第一行及第一列其余元素都消为零. 这就是说, $\mathbf{A}$ 经过第三类初等变换可化为如下形状:

$$\left(\begin{array}{cc}a& O\\ O& A_1\end{array}\right)$$

再对 ${\mathbf{A}}_1$ 同样处理,不断做下去,可将 $\mathbf{A}$ 化为对角矩阵. 因此我们只要对对角矩阵证明结论即可. 为简化讨论, 我们先考虑二阶矩阵:

$$\left(\begin{array}{ll}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$$

将其第一行乘以 $\left(1-a\right)a^{-1}$ 加到第二行上,再将第二行加到第一行上得到:

$$\left(\begin{array}{ll}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 1-a& b\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}1& b\\ 1-a& b\end{array}\right).$$

将其第一列乘以 $-b$ 加到第二列上,再将第一行乘以 $a-1$ 加到第二行上得到:

$$\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 1-a& b\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1-a& ab\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& ab\end{array}\right).$$

显然上述方法对 $n$ 阶对角矩阵也适用,而我们所用的初等变换始终是第三类初等变换. 这就得到了结论.