例 2.35

求证: 任一 $n$ 阶矩阵均可表示为形如 ${\mathbf{I}}_n+a_{ij}{\mathbf{E}}_{ij}$ 这样的矩阵之积,其中 ${\mathbf{E}}_{ij}$ 是 $n$ 阶基础矩阵.

证明 任意一个 $n$ 阶矩阵都可表示为有限个初等矩阵和具有下列形状的对角矩阵 $\mathbf{D}$ 之积:

$$\mathbf{D}=\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,0,\cdots ,0\}$$

故只要对初等矩阵和 $\mathbf{D}$ 证明结论即可. 对 $\mathbf{D}$ ,假定 $\mathbf{D}$ 有 $r$ 个 1,则

$$\mathbf{D}=\left({\mathbf{I}}_n-{\mathbf{E}}_{r+1,r+1}\right)\cdots \left({\mathbf{I}}_n-{\mathbf{E}}_{nn}\right).$$

第三类初等矩阵已经是这种形状了. 对第二类初等矩阵 ${\mathbf{P}}_i\left(c\right)$ ,显然我们有 ${\mathbf{P}}_i\left(c\right)=$ ${\mathbf{I}}_n+\left(c-1\right){\mathbf{E}}_{ii}$ . 对第一类初等矩阵 ${\mathbf{P}}_{ij}$ ,由例 2.34 可知,只用第三类初等变换就可以将 ${\mathbf{P}}_{ij}$ 化为 ${\mathbf{P}}_n\left(-1\right)=\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,-1\}$ ,因此对第一类初等矩阵结论也成立. 具体地, 我们可以写出:

$${\mathbf{P}}_{ij}=\left({\mathbf{I}}_n-{\mathbf{E}}_{ij}\right)\left({\mathbf{I}}_n+{\mathbf{E}}_{ji}\right)\left({\mathbf{I}}_n-2{\mathbf{E}}_{jj}\right)\left({\mathbf{I}}_n+{\mathbf{E}}_{ij}\right).$$

矩阵的初等变换常常用来求某些矩阵的逆阵. 这种方法不仅对数字矩阵有效, 对文字矩阵也同样有效. 下面是几个典型的例子, 请读者细心领会其中的技巧.