例 2.36

求下列 $n$ 阶矩阵的逆矩阵:

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 0& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0\end{array}\right)$$

解 用初等变换法, 关键的第一步是将下面的行全加到第一行上:

$$\left({\mathbf{A}}_1^{\prime }{\mathbf{I}}_n\right)=\left(\begin{array}{ccccccccccc}0& 1& 1& \cdots & 1& 1& 1& 0& 0& \cdots & 0\\ 1& 0& 1& \cdots & 1& 1& 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 1& 1& 0& \cdots & 1& 1& 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0& 0& 0& 0& \cdots & 1& \end{array}\right)\to$$ $$\left(\begin{array}{ccccccccccc}n-1& n-1& n-1& \cdots & n-1& 1& 1& 1& \cdots & 1& \\ 1& 0& 1& \cdots & 1& 1& 1& 0& \cdots & 0& \\ 1& 1& 0& \cdots & 1& 1& 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0& 1& 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)\to$$ $$\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 1& 1& \cdots & 1& \frac{1}{n-1}& \frac{1}{n-1}& \frac{1}{n-1}& \cdots & \frac{1}{n-1}\\ 1& 0& 1& \cdots & 1& 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 1& 1& 0& \cdots & 1& 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0& 1& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)\to$$ $$\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 1& 1& \cdots & 1& \frac{1}{n-1}& \frac{1}{n-1}& \frac{1}{n-1}& \cdots & \frac{1}{n-1}\\ 0& -1& 0& \cdots & 0& \frac{1}{1-n}& \frac{n-2}{n-1}& \frac{1}{1-n}& \cdots & \frac{1}{1-n}\\ 0& 0& -1& \cdots & 0& \frac{1}{1-n}& \frac{1}{1-n}& \frac{n-2}{n-1}& \cdots & \frac{1}{1-n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & -1& \frac{1}{1-n}& \frac{1}{1-n}& \frac{1}{1-n}& \cdots & \frac{n-2}{n-1}\end{array}\right)\to$$ $$\left(\begin{array}{ccccccccccc}1& 0& 0& \cdots & 0& \frac{2-n}{n-1}& \frac{1}{n-1}& \frac{1}{n-1}& \cdots & \frac{1}{n-1}& \\ 0& -1& 0& \cdots & 0& \frac{1}{1-n}& \frac{n-2}{n-1}& \frac{1}{1-n}& \cdots & \frac{1}{1-n}& \\ 0& 0& -1& \cdots & 0& \frac{1}{1-n}& \frac{1}{1-n}& \frac{n-2}{n-1}& \cdots & \frac{1}{1-n}& \\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \\ 0& 0& 0& \cdots & -1& \frac{1}{1-n}& \frac{1}{1-n}& \frac{1}{1-n}& \frac{1}{1-n}& \cdots & \frac{n-2}{n-1}\end{array}\right).$$

由此即可看出

$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{n-1}\left(\begin{array}{ccccc}2-n& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 2-n& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 2-n& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1& 2-n\end{array}\right).\square$$