例 2.38

求矩阵 $A$ 的逆矩阵:

A = 1 n n - 1 ⋮ 2 21 n ⋮ 3 321 ⋮ 4 \dots \dots \dots \dots n - 1 n - 2 n - 3 ⋮ n n n - 1 n - 2 ⋮ 1

解对 $(A; I_{n})$ 用初等变换法,将所有行加到第一行上,第一行乘以 $s^{- 1}$ ,其中 $s = \frac{1}{2} n (n + 1)$ .

1 n n - 1 ⋮ 2 21 n ⋮ 3 321 ⋮ 4 \dots \dots \dots \dots n - 1 n - 2 n - 3 ⋮ n n n - 1 n - 2 ⋮ 1!!! ⋮! 100 ⋮ 0 010 ⋮ 0 001 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots 000 ⋮ 0 000 ⋮ 1 \to

1 n n - 1 ⋮ 2 11 n ⋮ 3 121 ⋮ 4 \dots \dots \dots \dots 1 n - 2 n - 3 ⋮ n 1 n - 1 n - 2 ⋮ 1 100 ⋮ 1 \frac{1}{s} 10 ⋮ 0 \frac{1}{s} 01 ⋮ 0 \frac{1}{s} \dots \dots ⋮ 0 \dots 00 ⋮ \dots \frac{1}{s} 00 ⋮ 0 \frac{1}{s} 1 .

第二行起依次减去下一行, 得到

111 ⋮ 2 1 1 - n 1 ⋮ 3 11 1 - n ⋮ 4 \dots \dots \dots \dots 111 ⋮ n 111 ⋮ 1 \frac{1}{s} 00 ⋮ 0 \frac{1}{s} 10 ⋮ 0 \frac{1}{s} - 1 1 ⋮ 0 \dots \dots \dots ⋮ \dots \frac{1}{s} 000 \frac{1}{s} 00 ⋮ 1 ⋮ .

消去第一列除第一行外的所有元素后, 得

100 ⋮ 0 1 - n 0 ⋮ 1 10 - n ⋮ 2 \dots \dots \dots \dots 100 ⋮ n - 2 100 ⋮ - 1 \frac{1}{s} \frac{1}{1} - \frac{1}{s} \frac{1}{1} - \frac{1}{s} ⋮ - \frac{2}{s} \frac{1}{s} \frac{s - 1}{s} - \frac{1}{s} ⋮ - \frac{2}{s} \frac{1}{s} - \frac{s + 1}{s} \frac{s - 1}{s} ⋮ - \frac{2}{s} \dots \dots \dots ⋮ \dots \frac{1}{s} - \frac{1}{s} - \frac{1}{s} ⋮ - \frac{2}{s} \frac{1}{s} - \frac{1}{s} - \frac{1}{s} ⋮ - \frac{s - 2}{s} .

从第二行到第 $n - 1$ 行乘以 $- \frac{1}{n}$ 得到

100 ⋮ 0 110 ⋮ 1 101 ⋮ 2 \dots \dots \dots \dots 100 ⋮ n - 2 100 ⋮ - 1 \frac{1}{s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \frac{1}{n s} \frac{1}{s} \frac{1 - s}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \frac{2}{s} \frac{1}{s} \frac{s + 1}{n s} \frac{1 - s}{n s} ⋮ \frac{- 2}{s} \dots \dots \dots ⋮ - \frac{2}{s} \frac{1}{s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \dots \frac{1}{s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ - \frac{2}{s} - \frac{s - 2}{s} .

第一行依次减去第二行,第三行, $\dots$ ,第 $n - 1$ 行,得到

100 ⋮ 0 010 ⋮ 1 001 ⋮ 2 \dots \dots \dots \dots 000 ⋮ n - 2 100 ⋮ - 1 \frac{2}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \frac{2}{n s} \frac{s + 2}{n s} \frac{1 - s}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ - \frac{2}{s} \frac{2}{n s} \frac{s + 1}{n s} \frac{1 - s}{n s} ⋮ - \frac{2}{s} \dots \dots \dots ⋮ - \frac{2}{s} \frac{2}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \dots \frac{2 - s}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ - \frac{2}{s} - \frac{s - 2}{s} .

第二行乘 -1 加到最后一行, 第三行乘以 -2 加到最后一行, …, 第 $n - 1$ 行乘以 $n - 2$ 加到最后一行,得到

100 ⋮ 0 010 ⋮ 0 001 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots 000 ⋮ 0 100 ⋮ - 1 \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \frac{1}{n s} \frac{2}{n s} \frac{1 - s}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \frac{1}{n s} \frac{s + 2}{n s} \frac{s + 1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \frac{1}{n s} \frac{2}{n s} \dots \frac{1 - s}{n s} ⋮ \frac{1}{n s} \dots \frac{1}{n s} \dots ⋮ \dots \frac{2}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \frac{1}{n s} \frac{2 - s}{n s} \frac{1}{n s} \frac{s - 1}{n s} .

最后一行加到第一行, 再将 -1 乘以最后一行, 得到

1000 ⋮ 0 0100 ⋮ 0 0011 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots \dots 0000 ⋮ 0 0000 ⋮ 1 \frac{1 - s}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \frac{s + 1}{n s} \frac{1 + s}{n s} \frac{1 - s}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} \frac{s + 1}{n s} \frac{1 - s}{n s} \frac{1 - s}{n s} ⋮ \frac{1}{n s} \dots \dots \dots \dots \dots \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} \frac{1}{n s} ⋮ \frac{1 - s}{n s} .

因此

A^{- 1} = \frac{1}{n s} 1 - s 11 ⋮ 1 + s 1 + s 1 - s 1 ⋮ 1 1 1 + s 1 - s ⋮ 1 \dots \dots \dots \dots 111 ⋮ 1 111 ⋮ 1 - s . □

Youliang Zhong