5.1
设
- ,
- ,
- ,
那么下列正确的选项是( ).
(A) 与 相互独立 (B) 与 相互对立 (C) 与 互不相容 (D) 与 互不独立
解法一
因为
- ,
- ,
所以 ,
整理得 ,
从而 $$ \begin{align} P(AB) &= P(B) \left[ P(AB) + P(A \bar{B}) \right] \ &= P(B) P \left[ A (B + \bar{B}) \right] \ &= P(B) P(A) \end{align}
故应选择(A). ## 解法二 注意到 $P\left( {\bar{A} \mid \bar{B}}\right) = 1 - P\left( {A \mid \bar{B}}\right)$,又 $P\left( {A \mid \bar{B}}\right) = \frac{P\left( {A\bar{B}}\right) }{P\left( \bar{B}\right) }$ 由题意知 $1 = P\left( {A \mid B}\right) + P\left( {\bar{A} \mid \bar{B}}\right) = P\left( {A \mid B}\right) + 1 - P\left( {A \mid \bar{B}}\right)$,即P\left( {A \mid B}\right) = P\left( {A \mid \bar{B}}\right)
\frac{P\left( {AB}\right) }{P\left( B\right) } = \frac{P\left( {A\bar{B}}\right) }{P\left( \bar{B}\right) } = \frac{P\left( A\right) - P\left( {AB}\right) }{1 - P\left( B\right) }
下同, 故略. ## 点评 本例的解答过程实质上意味着: 当 $0 < P\left( A\right) < 1,0 < P\left( B\right) < 1$ 时,事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 $\Leftrightarrow P\left( {A \mid B}\right) + P\left( {\bar{A} \mid \bar{B}}\right) = 1 \Leftrightarrow P\left( {A \mid B}\right) = P\left( {A \mid \bar{B}}\right)$. # 5.2 设 $A, B, C$ 三个事件两两独立,则 $A, B, C$ 相互独立的充分必要条件是_____. (A) $A$ 与 ${BC}$ 独立 (B) ${AB}$ 与 $A \cup C$ 独立 (C) ${AB}$ 与 ${AC}$ 独立 (D) $A \cup B$ 与 $A \cup C$ 独立 ## 分析 两两独立和相互独立是两个容易混淆的概念, 相互独立则两两独立, 反之不真, 若 $A, B, C$ 是两两独立的三个事件,则当还需满足条件P\left( {ABC}\right) = P\left( A\right) P\left( B\right) P\left( C\right)
时才相互独立. ## 解 由题意, $P\left( {ABC}\right) = P\left( A\right) P\left( B\right) P\left( C\right) = P\left( A\right) P\left( {BC}\right)$,即当 $A$ 与 ${BC}$ 独立时, $A, B, C$ 相互独立, 故选 (A). # 5.3 对于任意二事件 $A$ 和 $B$,( ) (A) 若 ${AB} \neq \varnothing$,则 $A, B$ 一定独立 (B) 若 ${AB} \neq \varnothing$,则 $A, B$ 有可能独立 (C) 若 ${AB} = \varnothing$,则 $A, B$ 一定独立 (D) 若 ${AB} = \varnothing$,则 $A, B$ 一定不独立 ## 分析 “独立” 与 “互斥” 是两个不同的概念,本题利用独立的充要条件 $P\left( {AB}\right) =$ $P\left( A\right) P\left( B\right)$ 判断,可得正确选项 (B). ## 解 若 ${AB} = \varnothing$,当 $P\left( A\right), P\left( B\right)$ 中至少有一个等于 0 时,(D) 不成立; 当 $P\left( A\right), P\left( B\right)$ 均大于 0 时,(C) 不成立; 若 ${AB} \neq \varnothing$,如果 $P\left( {AB}\right) = P\left( A\right) P\left( B\right)$,则 $A$ 与 $B$ 独立,否则 $A$ 与 $B$ 不独立. 故应选 (B). # 5.4 将一枚硬币独立地掷两次,引进事件: ${A}_{1} =$ \{掷第一次出现正面\}, ${A}_{2} =$ \{掷第二次出现正面\}, ${A}_{3} = \{$ 正、反面各出现一次 $\},{A}_{4} = \{$ 正面出现两次 $\}$,则事件( ). (A) ${A}_{1},{A}_{2},{A}_{3}$ 相互独立 (B) ${A}_{2},{A}_{3},{A}_{4}$ 相互独立 (C) ${A}_{1},{A}_{2},{A}_{3}$ 两两独立 (D) ${A}_{2},{A}_{3},{A}_{4}$ 两两独立 ## 解 按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可, 注意应先检查两两独立, 若成立, 再检验是否相互独立. 因为 $P\left( {A}_{1}\right) = \frac{1}{2}, P\left( {A}_{2}\right) = \frac{1}{2}, P\left( {A}_{3}\right) = \frac{1}{2}, P\left( {A}_{4}\right) = \frac{1}{4}$ 且 $P\left( {{A}_{1}{A}_{2}}\right) = \frac{1}{4}, P\left( {{A}_{1}{A}_{3}}\right) = \frac{1}{4}$ $P\left( {{A}_{2}{A}_{3}}\right) = \frac{1}{4},\;P\left( {{A}_{2}{A}_{4}}\right) = \frac{1}{4}$ $P\left( {{A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}}\right) = 0$ 可见有 $P\left( {{A}_{1}{A}_{2}}\right) = P\left( {A}_{1}\right) P\left( {A}_{2}\right)$ $P\left( {{A}_{1}{A}_{3}}\right) = P\left( {A}_{1}\right) P\left( {A}_{3}\right)$ $P\left( {{A}_{2}{A}_{3}}\right) = P\left( {A}_{2}\right) P\left( {A}_{3}\right)$ $P\left( {{A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}}\right) \neq P\left( {A}_{1}\right) P\left( {A}_{2}\right) P\left( {A}_{3}\right)$ $P\left( {{A}_{2}{A}_{4}}\right) \neq P\left( {A}_{2}\right) P\left( {A}_{4}\right)$ 故 ${A}_{1},{A}_{2},{A}_{3}$ 两两独立但不相互独立; ${A}_{2},{A}_{3},{A}_{4}$ 不两两独立更不相互独立. 故应选(C) ## 点评 本题用排除法更简便:因为 ${A}_{3},{A}_{4}$ 互斥,故 ${A}_{3},{A}_{4}$ 不相互独立,从而 (B)、(D) 排除. 如果 (A) 正确, 则 (C) 也正确, 作为单项选择题必选 (C).