1.3.4 事件的独立性

若对事件 $A$ 和 $B$ , 有 $P (A) = P (A ∣ B)$ , 则表明一次试验中, $B$ 发生或不发生. 不影响 $A$ 发生的可能性. 或者说, $B$ 发生或不发生, 不影响 $A$ 发生或不发生. 此时, 由 (1.3.2) 知, $P (A B) = P (A) P (B)$ , 这引出事件独立性的概念, 它在概率论中十分重要.

定义 1.3.2 (两个事件独立)
设 $(Ω, F, P)$ 为概率空间, $A, B \in F$ , 如果
$P (A B) = P (A) P (B), (1.3.7)$
则称 $A$ 与 $B$ 相互独立.
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需要说明, 虽然我们用条件概率来直观解释独立性定义的意义, 但相互独立的定义中并不是按条件概率来定义的, 尤其是不要求 $P (B) P (A) > 0$ .

另外, 从独立性的直观解释来看, 若 $A$ 与 $B$ 独立, 则 $A$ 与 $\overset{ˉ}{B}$ , $\overset{ˉ}{A}$ 与 $B$ , $\overset{ˉ}{A}$ 与 $B$ 也应独立.

事实上, 因为 $A = A B \cup A \overset{ˉ}{B}$ , 若 $A$ 与 $B$ 独立, 则

P (A) = P (A B) + P (A \overset{ˉ}{B}) = P (A) P (B) + P (A \overset{ˉ}{B}),

即

P (A \overset{ˉ}{B}) = P (A) - P (A) P (B) = P (A) [1 - P (B)] = P (A) P (\overset{ˉ}{B}) .

这说明 $A$ 与 $\overset{ˉ}{B}$ 独立. 请读者证明另外两对事件也独立.

定义 1.3.3 (多个事件独立)
设 $(Ω, F, P)$ 为概率空间, $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} \in F$ , 如果以下 $2^{n} -$ $n - 1$ 个等式

$P (A_{i} A_{j}) = P (A_{i}) P (A_{j}), 1 \leq i < j \leq n,$

$P (A_{i} A_{j} A_{k}) = P (A_{i}) P (A_{j}) P (A_{k}), 1 \leq i < j < k \leq n,$

$\dots$

$P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2}) \dots P (A_{n})$

都成立, 则称 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 相互独立.
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按定义 $1.3.3, n$ 个事件独立, 就是其中任意 $k (2 \leq k \leq n)$ 个事件乘积 (交) 的概率等于各自概率的乘积, 而不仅仅是 $n$ 个事件乘积 (交) 的概率等于各自概率的乘积, 这一点读者必须注意. 另外, 读者容易验证, 若 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 相互独立, 则其中 $k (2 < k < n)$ 个也相互独立. 将其中 $k (1 < k < n)$ 个换成其对立事件所得的 $n$ 个事件也独立.

Youliang Zhong

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1.3.4 事件的独立性

定义 1.3.2 (两个事件独立)

定义 1.3.3 (多个事件独立)