题型 1 事件的表示

方法与技巧

任意一个随机事件均可以表示为一个或几个与其等价的形式. 在概率的计算中,可以根据条件的不同而选用不同的等价形式,大家在做关于随机事件的关系及运算的题目时, 应该注意下面几个结论的应用:

1. $A=AB+A\bar{B}$, $AB$ 与 $A\bar{B}$ 互不相容；
2. 当 $A,B$ 互不相容时, $A-B=A$; $AB=\varnothing$; $\left(A+B\right)-B=A$;
3. 当 $B\subset A$ 时, $A+B=A$; $AB=B$; $\left(A-B\right)+B=A$;
4. $A-B=A-AB=A\bar{B}$.

1.1

设 $A,B,C$ 为三事件,用 $A,B,C$ 的运算关系表示下列各事件.

1. $A$ 发生, $B$ 与 $C$ 不发生；
2. $A$ 与 $B$ 都发生,而 $C$ 不发生;
3. $A,B,C$ 中至少有一个发生;
4. $A,B,C$ 都发生;
5. $A,B,C$ 都不发生;
6. $A,B,C$ 中不多于一个发生;
7. $A,B,C$ 中不多于两个发生;
8. $A,B,C$ 中至少有两个发生.

解

1. $A\bar{B}\bar{C}$
2. $AB\bar{C}$
3. $A\cup B\cup C$
4. $ABC$
5. $\bar{A}\bar{B}\bar{C}$
6. $\bar{A}\bar{B}\bar{C}\cup A\bar{B}\bar{C}\cup \bar{A}B\bar{C}\cup \bar{A}\bar{B}C$ 或 $\bar{A}\bar{B}\cup \bar{A}\bar{C}\cup \bar{B}\bar{C}$
7. $\overline{ABC}$ 或 $\bar{A}\cup \bar{B}\cup \bar{C}$
8. $AB\cup BC\cup AC$.

1.2

在电炉上安装了 4 个温控器,其显示温度的误差是随机的. 在使用过程中, 只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 $t_0$,电炉就断电. 以 $E$ 表示事件“电炉断电”, 而 $T_{\left(1\right)}\le T_{\left(2\right)}$ $\le T_{\left(3\right)}\le T_{\left(4\right)}$ 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值, 则事件 $E$ 等于( ).

(A) $\left\{T_{\left(1\right)}\ge t_0\right\}$ (B) $\left\{T_{\left(2\right)}\ge t_0\right\}$ (C) $\left\{T_{\left(3\right)}\ge t_0\right\}$ (D) $\left\{T_{\left(4\right)}\ge t_0\right\}$

解

$\left\{T_{\left(1\right)}\ge t_0\right)\}$ 表示四个温控器显示温度均不低于 $t_0$

$\left\{T_{\left(2\right)}\ge t_0\right\}$ 表示至少三个温控器显示温度均不低于 $t_0$

$\left\{T_{\left(3\right)}\ge t_0\right\}$ 表示至少二个温控器显示温度均不低于 $t_0$

$\left\{T_{\left(4\right)}\ge t_0\right\}$ 表示至少一个温控器显示温度均不低于 $t_0$

故应选(C).