题型 2 判断事件的关系及运算

1.3

指出下面式子中事件之间的关系:

1. $AB=A$;
2. $A\cup B=A$;
3. $ABC=A$;
4. $A\cup B\cup C=A$.

解

(1) 表明 $A$ 包含于 $B$,即 $A\subset B$;

(2) 表明 $B$ 包含于 $A$,即 $B\subset A$;

(3) 表明 $A$ 包含于 $BC$,即 $A\subset BC$;

(4) 表明 $B\cup C$ 包含于 $A$,即 $B\cup C\subset A$.

1.4

设 $A$ 和 $B$ 是任意两个随机事件,则与 $A\cup B=B$ 不等价的是( ).

(A) $A\subset B$ (B) $\bar{B}\subset \bar{A}$ (C) $A\bar{B}=\varnothing$ (D) $\bar{A}B=\varnothing$

解

根据题干的信息, $A\cup B=B\iff A\subset B\iff \bar{B}\subset \bar{A}\iff A\bar{B}=\varnothing$

所以选项 (D) 不正确.

1.5

设任意两个随机事件 $A$ 和 $B$ 满足条件 $AB=\bar{A}\bar{B}$, 则( ).

(A) $A\cup B=\varnothing$ (B) $A\cup B=\Omega$ (C) $A\cup B=A$ (D) $A\cup B=B$

解法一 排除法.

注意到 $AB=\bar{A}\bar{B}$,那么 $A,B$ 的地位是 “对等” 的,从而 (C),(D) 均不成立. (A) 不正确是显然的. 故 (B) 正确.

解法二 直接法.

运用摩根律, $AB=\bar{A}\bar{B}=\overline{A\cup B}$,那么

$A\cup B=\left(A\cup B\right)\cup AB=\left(A\cup B\right)\cup \overline{A\cup B}=\Omega .$

故应选 (B).

点评

对于较复杂的事件运算, 除了熟练运用定义及运算规律判断, 还可采用集合论中的文氏图帮助分析和理解.