题型 3 关于独立重复试验的题目

5.10

一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至少命中一次的概率为 $\frac{80}{81}$, 则该射手的命中率为_____.

解

这是一个 4 重伯努利试验,设该射手的命中率为 $p$,则由伯努利概型计算公式得

$$C_4^0{p}^0{\left(1-p\right)}^4=1-\frac{80}{81},\text{ 即 }p=\frac{2}{3}.$$

点评

在 $n$ 次独立重复试验中,记 $A=$ “试验成功”, $\bar{A}=$ “试验失败”, $P\left(A\right)=p(0<p<$ $1)$, $P\left(\bar{A}\right)=1-p$, 则至少成功一次的概率为 $1-{\left(1-p\right)}^n$, 至少失败一次的概率为 $1-p^n$, 恰好成功 $r$ 次的概率为 $C_n^r{p}^r{\left(1-p\right)}^{n-r}$.

5.11

某种日光灯使用 3000 小时以上的概率为 0.8, 求 3 个日光灯在使用 3000 小时以后,

(1)都没有坏的概率;

(2)坏了一个的概率；

(3)最多只有一个坏了的概率.

解

本题可视为三重伯努利试验, 利用二项概率公式可得:

(1) $p_3\left(3\right)={0.8}^3=0.512$.

(2) $p_3\left(2\right)=C_3^2\cdot {0.8}^2\cdot 0.2=0.384$.

(3) $p_3\left(3\right)+p_3\left(2\right)=0.896$.

5.12

假设一厂家生产的每台仪器以概率 0.7 可以直接出厂, 以概率 0.3 需进一步调试, 经调试后以概率 0.8 可以出厂, 以概率 0.2 定为不合格品不能出厂, 现该厂新生产了 $n\left(n\ge 2\right)$ 台仪器 (假设各台仪器的生产过程相互独立). 求

(1) 全部能出厂的概率 $\alpha$;

(2) 其中恰好有两件不能出厂的概率 $\beta$;

(3) 其中至少有两件不能出厂的概率 $\theta$.

解

设 $A=\{$ 仪器需进一步调试 $\},B=\{$ 仪器能出厂 $\}$,则

$$P\left(B\right)=P\left(\bar{A}+AB\right)=P\left(\bar{A}\right)+P\left(AB\right)$$ $$=1-P\left(A\right)+P\left(A\right)P\left(A\mid B\right)=0.94$$

由二项概率公式可知:

${\left(1\right)}_{\alpha }={0.94}^n$

(2) $\beta =C_n^2\cdot {0.94}^{n-2}\cdot {0.06}^2$

(3) $\theta =1-C_n^1\cdot {0.94}^{n-1}\cdot 0.06-{0.94}^n$.

5.13

甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛, 如果每赛一局甲胜的概率为 0.6, 乙胜的概率为 0.4. 比赛既可采用三局两胜制, 也可采用五局三胜制, 问采用哪种赛制对甲更有利?

解

1

采用三局两胜制. 设

• $A_1=$ “甲净胜二局”,
• $A_2=$ “前两局甲、乙各胜一局,第三局甲胜”,
• $A=$ “甲胜”,

则 $A=A_1+A_2$, 而

• $P\left(A_1\right)={0.6}^2=0.36$
• $P\left(A_2\right)=\left({0.6}^2\times 0.4\right)\times 2=0.288$

所以, 有

$$\begin{array}{rl}P(A)& =P(A_1+A_2)\\ & =P(A_1)+P(A_2)\text{(if }{A}_1\text{ and }{A}_2\text{ are mutually exclusive)}\\ & =0.36+0.288\\ & =0.648\end{array}$$

2

采用五局三胜制. 设

• $B=$ “甲胜”,
• $B_1=$ “前三局甲胜”,
• $B_2=$ “前三局甲胜两局,乙胜一局,第四局甲胜”,
• $B_3=$ “前四局中甲、乙各胜两局,第五局甲胜”,

则 $B_1,B_2,B_3$ 互不相容, 且 $B=$ $B_1+B_2+B_3$, 由题设知

• $P\left(B_1\right)={0.6}^3=0.216$
• $P\left(B_2\right)=C_3^2\times {0.6}^2\times 0.4\times 0.6=0.259$
• $P\left(B_3\right)=C_4^2\times {0.6}^2\times {0.4}^2\times 0.6=0.207$

所以, 甲胜的概率为

$$\begin{array}{rl}P(B)& =P(B_1+B_2+B_3)\\ & =P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)\\ & =0.216+0.259+0.207\\ & =0.682\end{array}$$

由于 $P\left(B\right)=0.682>P\left(A\right)=0.648$, 也就是说,采用五局三胜制时甲胜的概率, 要大于采用三局两胜制时甲胜的概率, 所以, 采用五局三胜制时对甲更有利.