1.3.5 独立试验概型

现实中遇到的大量随机试验都是可以重复进行的, 且各次试验出现何种结果互不影响. 由这种随机现象可以建立独立随机试验模型, 在该模型中, 利用事件的独立性, 有关事件的概率容易计算.

定义 1.3.4 (随机试验相互独立)

设有随机试验 $E_1,E_2,\cdots ,E_n$. 如果对 $E_i$ 的任意结果 (事件) $A_i$, $i=1,2,\cdots ,n$, 都有

$$P\left(A_1{A}_2\cdots A_n\right)=P\left(A_1\right)P\left(A_2\right)\cdots P\left(A_n\right),$$

则称随机试验 $E_1,E_2,\cdots ,E_n$ 相互独立.

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例 1.3.7 (独立随机试验)

感兴趣的读者, 可以写出例 1.3.7 中随机试验的概率空间, 不妨假定硬币和骰子都是均匀的.

在独立试验概型中, 最常见的是 $n$ 重独立试验, 即 $n$ 个试验的条件相同. 可能出现的结果也相同. 最简单的 $n$ 重独立试验是所谓的 $n$ 重伯努利 (Bernoulli) 试验, 其中每个试验都只有两个可能的结果, 比如成功 $(A)$ 和失败 $(\bar{A})$.

例 1.3.8 (有放回抽取产品的事件概率)

由例 1.3.8 的解题思路, 容易证得下面的定理 1.3.4.

定理 1.3.4 (伯努利试验的成功次数概率)

定理 1.3.4 (伯努利试验的成功次数概率)

设伯努利试验中 $P\left(A\right)=p$, 则 $n$ 重独立伯努利试验中恰好成功 $k$ 次的概率为

$$b\left(k;n,p\right)=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{n-k}.\text{\hspace{1em}(1.3.8)}$$

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• 例 1.3.9 (药物治愈率)
• 5.10
• 5.13
• 题型 4 可靠性问题