题型 4 可靠性问题

5.14

某电路系统由相互独立的 $n$ 个元件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 组成,已知每个元件的可靠性 (正常运行的概率) 为 $p\left(0<p<1\right)$,在元件串联连接或并联连接的情形下,试分别求系统的可靠性.

解

设事件

• $A=$ “系统正常运行”,
• $A_i=$ “第 $i$ 个元件正常运行” $\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$,

则 $P\left(A_i\right)=p$.

在串联连接情形 (图 1-5.14-1),“系统正常” 相当于 “每个元件都正常”, 即 $A=$ $A_1{A}_2\cdots A_n$, 因诸 $A_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 独立, 故

$$P\left(A\right)=P\left(A_1\right)P\left(A_2\right)\cdots P\left(A_n\right)=p^n.$$

图 1-5.14-1

在并联连接情形 (图 1-5.14-2), “系统正常” 相当于 “至少有一元件正常”, 即 $A=\bigcup _{i=1}^n{A}_i$, 由公式得

$$P\left(A\right)=1-{\left(1-p\right)}^n.$$

图 1-5.14-2

若选择 $n=10$, $p=0.99$, 代入以上表达式, 可算得: 在串联连接时 $P\left(A\right)={0.99}^{10}=0$. 904; 在并联连接时, $P\left(A\right)=1-{\left(1-0.99\right)}^{10}\approx 1$. 可见在题设条件下,并联连接优于串联连接法.