题型 1 概率密度的性质

3.1

下列选项中,能作为连续型随机变量密度函数的是( ).

(A) $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$

(B) $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1,& \left|x\right|<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

(C) $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2},& 0<x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

(D) $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-|x|}$

解

只有 (D) 中 $f\left(x\right)$ 满足概率密度的性质:

(1) $f\left(x\right)\ge 0$; (2) ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)\mathrm{d}x=1$.

故应选(D).

3.2

$f\left(x\right)=c{\mathrm{e}}^{-x^2+x}$ 是随机变量 $X$ 的密度函数, 则 $c=$ _____.

解

${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)\mathrm{d}x=\frac{c}{\sqrt{2}}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=c\cdot \sqrt{\pi }{\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}=1$.

故 $c=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{4}}$.

3.3

设随机变量 $X$ 的密度函数为 $\phi \left(x\right)$, 且 $\phi \left(-x\right)=\phi \left(x\right)$, $F\left(x\right)$ 是 $X$ 的分布函数, 则对任意实数 $a$, 有( ).

(A) $F\left(-a\right)=1-{\int }_0^a\phi \left(x\right)\mathrm{d}x$ (B) $F\left(-a\right)=\frac{1}{2}-{\int }_0^a\phi \left(x\right)\mathrm{d}x$ (C) $F\left(-a\right)=F\left(a\right)$ (D) $F\left(-a\right)=2F\left(a\right)-1$

分析

在对随机变量求密度函数与分布函数问题中多用到高等数学中微积分方面的知识, 本题中需要对积分变量做换元法。

解

由分布函数与密度函数关系可知 $F\left(-a\right)={\int }_{-\infty }^{-a}\phi \left(x\right)\mathrm{d}x$.

令 $x=-t$,得到 $F\left(-a\right)=-{\int }_{+\infty }^a\phi \left(t\right)\mathrm{d}t={\int }_a^{+\infty }\phi \left(x\right)\mathrm{d}x$

又因为 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\phi \left(x\right)\mathrm{d}x=1$,且有 $\phi \left(-x\right)=\phi \left(x\right)$

故

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\infty }^{-a}\phi (x)dx+{\int }_{-a}^0\phi (x)dx\\ & ={\int }_0^a\phi (x)dx+{\int }_a^{\infty }\phi (x)dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\phi (x)dx=\frac{1}{2}.\end{array}$$

得 ${\int }_0^a\phi \left(x\right)\mathrm{d}x+F\left(-a\right)=\frac{1}{2}$

所以 $F\left(-a\right)=\frac{1}{2}-{\int }_0^a\phi \left(x\right)\mathrm{d}x$.

答案为(B)

图 2-3.3

点评

另外还可以根据随机变量 $X$ 的密度函数图形来判定.

由于密度函数 $\phi \left(x\right)$ 满足 $\phi \left(x\right)=\phi \left(-x\right)$ 是关于 $y$ 轴对称的,如图 2-3.3 所示. $S_1,D_1,D_2,S_2$ 表示图中对应部分的面积. 根据密度函数的性质及 $\phi \left(-x\right)=\phi \left(x\right)$ 知

$$S_1=S_2,D_1=D_2,S_1+D_1=D_2+S_2=\frac{1}{2}$$

因此 $F\left(-a\right)=S_1=S_2=\frac{1}{2}-D_2=\frac{1}{2}-{\int }_0^a\phi \left(x\right)\mathrm{d}x$

故应选(B).