2.3 一维连续型随机变量

现实生活中经常遇到的另一类随机试验, 它的结果可能取全体实数值或实数轴上的一个区间, 而且其分布函数可以写为另外一个函数的积分, 此时随机变量的分布特性可由一非负可积函数的积分来表示.

定义 2.3.1 (连续型随机变量)

设 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 为概率空间, $X$ 为其上的随机变量, $F_X$ 为 $X$ 的分布函数. 如果存在非负函数 $f_X$, 使得

$$F_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^x{f}_X\left(t\right)\mathrm{d}t,x\in \left(-\infty ,\infty \right),\text{\hspace{1em}(2.3.1)}$$

则称 $X$ 为连续型随机变量, 称 $f_X$ 为 $X$ 的分布密度函数.

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由微积分学知识可知, 在 $f_X$ 的连续点 $x$ 上有 $f_X\left(x\right)=F_X^{\prime }\left(x\right)$.

由分布函数的性质可知, 对任意分布密度函数 $f_X$ 有

$$f_X\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(-\infty ,\infty \right).\text{\hspace{1em}(2.3.2)}$$ $${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x=1\text{\hspace{1em}(2.3.3)}$$

反过来, 对于定义在 $\left(-\infty ,\infty \right)$ 的函数 $f$, 满足 (2.3.2) 和 (2.3.3). 若令

$$F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t,x\in \left(-\infty ,\infty \right),$$

则 $F$ 一定是某随机变量的分布函数.

由 (2.1.3) 立刻得到

$$P\left(a<X\le b\right)=F_X\left(b\right)-F_X\left(a\right)={\int }_a^b{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x,\forall a<b\in \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(2.3.4)}$$

而对于 $P\left(X=a\right)$, 因为对任 $h>0$ 有

$$P\left(X=a\right)\le P\left(a-h<X\le a\right)={\int }_{a-h}^a{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x,$$

所以

$$0\le P\left(X=a\right)\le \underset{h\to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a-h}^a{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x=0.$$

即

$$P\left(X=a\right)=0,\forall x\in \left(-\infty ,\infty \right).\text{\hspace{1em}(2.3.5)}$$

这表明连续型随机变量取任意单点值的概率为零, 这一点与离散型随机变量截然不同. 也就是说, 对于连续型随机变量, 它的分布特性不可能通过列举它取每个单点值的概率来表示.

另外, 由于对 $\Delta x>0$

$$f_X\left(x\right)\Delta x\approx {\int }_x^{x+\Delta x}{f}_X\left(t\right)\mathrm{d}t=F_X\left(x+\Delta x\right)-F_X\left(x\right)=P\left(x<X\le x+\Delta x\right).$$

这说明若分布密度函数 $f_X$ 在某点 $x$ 处取值较大, 则随机变量 $X$ 取 $x$ 附近值的概率也较大.

所以用分布密度函数来描述连续型随机变量的分布特性, 与用分布列描述离散型随机变量是类似的.

• 例 2.3.1 (分布密度函数的求解)
  • 例 2.3.1 中的分布通常称为标准柯西分布.
  • 类似的 3.6
• 3.3
• 3.5

应用

下面我们介绍几类有重要实际应用背景的连续型分布.

• 2.3.1 均匀分布
• 2.3.2 指数分布
• 2.3.3 正态分布