题型 1 离散型随机变量函数的分布

4.1

已知 $X$ 的分布律如下表所示

$X$	0	1	2	3	4	5
$P\{ X = x\}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

则 $Y={\left(X-2\right)}^2$ 的分布律为_____.

解

记 $g\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2$. 由于 $g\left(0\right)=g\left(4\right)=4,g\left(1\right)=g\left(3\right)=1,g\left(2\right)=0,g\left(5\right)=$ 9,因此

$$P\{Y=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{3}$$ $$P\{Y=1\}=P\{X=1\}+P\{X=3\}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$$ $$P\{Y=4\}=P\{X=0\}+P\{X=4\}=\frac{1}{12}+\frac{2}{9}=\frac{11}{36}$$ $$P\{Y=9\}=P\{X=5\}=\frac{1}{9}$$

故应填

$Y$	0	1	4	9
$P\{ Y = y\}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{1}{9}$

点评

求离散型随机变量函数的分布律时, 要注意两种情形:

设 $X$ 为离散型随机变量,其分布律为 $P\left\{X=x_k\right\}=p_k,k=1,2,\cdots$,则 $Y=g\left(X\right)$ 的分布律为:

(1) 当 $y_k$ 各不相同时, $P\left\{Y=y_k\right\}=P\left\{g\left(X\right)=y_k\right\}=p_k,k=1,2,\cdots$

(2)当 $y_k$ 有重复时, $P\left\{Y=y_k\right\}=P\left\{g\left(X\right)=y_k\right\}=\sum _{g\left(x_i\right)=y_k}{p}_i$.

4.2

设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{1}{2^k},k=1,2,3,\cdots$. 试求随机变量 $Y=$ $\sin \left(\frac{\pi }{2}X\right)$ 的分布律.

解

$P\{Y=0\}=P\{X=2\}+P\{X=4\}+P\{X=6\}+\cdots =\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\cdots =\frac{1}{3}$.

$P\{Y=-1\}=P\{X=3\}+P\{X=7\}+P\{X=11\}+\cdots =\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^{11}}+\cdots =$

$\frac{2}{15}$.

$P\{Y=1\}=1-P\{Y=0\}-P\{Y=-1\}=\frac{8}{15}.$

故 $Y=\sin \left(\frac{\pi }{2}X\right)$ 的分布律为:

$Y$	$-1$	$0$	$1$
$P$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$

4.3

设离散型随机变量 $X$ 服从泊松分布,参数 $\lambda =4$,则 $3X-2$ 的分布律为_____.

解

$P\{Y=k\}=P\{3X-2=k\}=P\left\{X=\frac{k+2}{3}\right\}=\frac{4^{\frac{k+2}{3}}{\mathrm{e}}^{-4}}{\left(\frac{k+2}{3}\right)!}(k=3n-2,n=0$, $1,2,\cdots )$

故应填 $\frac{4^{\frac{k+2}{3}}{\mathrm{e}}^{-4}}{\left(\frac{k+2}{3}\right)!}$.

点评

本题中 $X$ 和 $Y=g\left(X\right)$ 均为无限可列的离散型随机变量,对于此类题型只需注意函数关系的转化即可求出分布律.

4.4

已知 $X$ 的分布函数为

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<-1\\ \frac{1}{3},& -1\le x<0\\ \frac{1}{2},& 0\le x<1\\ \frac{2}{3},& 1\le x<2\\ 1,& 2\le x\end{array}$$

求 $Y={\left(\sin \frac{\pi }{6}X\right)}^2$ 的分布函数.

解

直接求 $Y$ 的分布函数 $F_Y\left(y\right)$ 较为困难,可先利用 $X$ 与 $Y$ 分布律之间的关系求出 $Y$ 的分布律.

由题意可得 $X$ 的分布律

$X$	-1	0	1	2
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

则 $Y={\left(\sin \frac{\pi }{6}X\right)}^2$ 的分布律为即

$Y$	$\frac{1}{4}$	0	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

$Y$	0	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$

故 $Y$ 的分布函数为

$$F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=\{\begin{array}{ll}0,& y<0\\ \frac{1}{6},& 0\le y<\frac{1}{4}\\ \frac{2}{3},& \frac{1}{4}\le y<\frac{3}{4}\\ 1,& y\ge \frac{3}{4}\end{array}$$