2.4 一维随机变量函数的分布

在理论分析和实际应用中, 许多情况下随机变量 $X$ 的分布是已知的, 而 $f$ 是一个实变量的实值函数, 需要求 $f\left(X\right)$ 的分布. 直观上可以理解, 既然 $X$ 的取值在试验结束之前无法预知, 当然 $f\left(X\right)$ 的取值也无法预知, 所以 $f\left(X\right)$ 也是随机变量, 但寻求 $f\left(X\right)$ 的分布, 一般情况下并非易事, 这与 $X$ 的分布和 $f$ 的复杂程度有关, 我们这里只介绍一些简单情形, 使读者了解解决这种问题的基本思路.

当 $X$ 为离散型随机变量时, 往往通过列举 $f\left(X\right)$ 的相应取值, 再将 $f\left(X\right)$ 取相同取值的概率相加即得 $f\left(X\right)$ 的分布列.

• 例 2.4.1 (离散随机变量的变换后的分布列)
• 4.2

当 $X$ 为连续型随机变量时, 往往可先求出 $f\left(X\right)$ 的分布函数. 再经求导得到 $f\left(X\right)$ 的分布密度函数.

• 例 2.4.2 (连续随机变量的变换后的分布密度函数) 我们将在后文的抽样分布 (6.3 节) 中看到, $Y=X^2$ 服从 $\Gamma$ 分布, 其中的参数 $\alpha =\lambda =\frac{1}{2}$, 也称 $Y$ 服从自由度为 1 的 ${\chi }^2$ 分布.

• 例 2.4.3 (线性变换下随机变量的分布密度函数)

• 4.6

作为例 2.4.3 的推论, 我们看到, 若 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$, 则由 (2.4.1) 知, $Y=\frac{X-\mu }{\sigma }$

$$f_Y\left(y\right)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma }}\varphi \left(\frac{y+\frac{\mu }{\sigma }}{\frac{1}{\sigma }}\right)=\sigma \times \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\mathrm{e}}^{\frac{{\left(\sigma y+\mu -\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{\frac{y^2}{2}}.$$

即 $Y=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N\left(0,1\right)$.