题型 6 关于泊松定理

2.17

现有同型设备 300 台, 各台设备的工作是相互独立的, 发生故障的概率都是 0.01. 设一台设备的故障可由一名维修工人处理, 问至少需配备多少名维修工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ?

解

设需配备 $N$ 名工人, $X$ 为同一时刻发生故障的设备的台数,则 $X\sim B\left(300,0.01\right)$. 所需解决的问题是确定 $N$ 最小值,使 $P\{X\le N\}\ge 0.99$.

因 $np=\lambda =3$,由泊松定理

$$P\{X\le N\}\approx \sum _{k=0}^N\frac{3^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-3},$$

故问题转化为求 $N$ 的最小值,使 $\sum _{k=0}^N\frac{3^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-3}\ge 0.99$,即

$$1-\sum _{k=0}^N\frac{3^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-3}=\sum _{k=N+1}^{+\infty }\frac{3^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-3}\le 0.01$$

查表可知,当 $N\ge 8$ 时,上式成立. 因此,为达到上述要求,至少需配备 8 名维修工人.

点评

利用二项分布求概率时, 如果遇到多个概率的和式不易求, 可以运用泊松定理或后面的中心极限定理求其近似值. 本题就是如此,设 $X\sim B\left(n,p\right)$,当 $n$ 较大, $p$ 较小时, $X$ 近似服从 $P\left(np\right)$.