2.2.2 泊松分布

定义 (泊松分布, Poisson distribution)

如果一个随机变量 $X$ 取非负整数值, 且

$$P\left(X=k\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!},k=0,1,2,\cdots ,\text{\hspace{1em}(2.2.4)}$$

则称 $X$ 服从泊松 (Poisson) 分布, 记为 $X\sim \mathrm{Pois}\left(\lambda \right)$, $\mathrm{R}$ 软件中的分布名为 pois.

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它由法国数学家泊松在 1837 年, 作为二项分布的近似分布而引入的 (见 定理 2.2.2 (泊松定理)). 此分布也因他而得名.

由熟知的展开式 ${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots$ 知, (2.2.4) 给出的分布确实是概率分布.

一般认为, “稀有事件” (在有限事件内只发生有限多次, 在极短时间内至多发生一次) 发生的次数服从泊松分布.

Example

• 在公共服务领域, 一段时间内查号台收到的呼唤次数、公共汽车站来到的乘客数等等,
• 在自然科学中, 一段时间内放射性物质分裂落到某区域的质点数、一段时间内出现的彗星数等等,

都可认为服从泊松分布. 泊松分布是概率论刻画随机现象的一种十分重要的分布.

泊松注意到在二项分布中, 当参数 $n$ 很大而 $p$ 很小时, 概率 $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{n-k}$ 的计算相当麻烦, 于是想用一种容易计算的分布来近似, 这就是下面的泊松定理.

Transclude of 定理-2.2.2-(泊松定理)#statement

python 比较泊松分布和二项分布

• 例 2.2.4 (三胞胎出生概率)
• 例 2.2.5 (合作问题)
  • 类似的：2.17