题型 1 求离散型变量函数的分布

5.1

设两个相互独立的随机变量 $\xi$ 与 $\eta$ 的分布律为

$\xi$			$\eta$	2
${p}_{i}$	0.3	0.7	${p}_{j}$	0.6	0.4

求随机变量 $Z=\xi +\eta$ 的分布律.

分析 简单的离散型随机变量的求解可直接应用列表的方法.

解 由于 $\xi$ 与 $\eta$ 相互独立,因此有 $p_{ij}=p_i\cdot p_j$.

得到二维随机变量的联合分布:

$\eta$ ξ	2	4
1	0.18	0.12
3	0.42	0.28

因为 $Z=\xi +\eta$,易知 $Z$ 的分布为

${p}_{ij}$	$\left( {\xi,\eta }\right)$	$Z$
0.18	(1,2)	3
0.12	$\left( {1,4}\right)$	5
0.42	(3,2)	5
0.28	(3,4)	7

由离散型随机变量函数的定义 $P\left\{Z=z_k\right\}=\sum _{x_i+y_j=z_k}P\left\{X=x_i,Y=y_j\right\}$,得到 $Z$ 的分布律为

$Z$	3	5	7
$p$	0.18	0.54	0.28

5.2

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\frac{1}{2},Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布. 令 $Z=XY$,求 $Z$ 的概率分布.

解 $Z$ 的所有可能取值为全体整数,

即 $Z$ 取 $0,\pm 1,\pm 2,\cdots \cdots$

$P\{Z=0\}=P\{XY=0\}=P\{Y=0\}={\mathrm{e}}^{-\lambda };$ 概率论与数理统计习题精选精解

对于 $n=\pm 1,\pm 2,\cdots \cdots$,有

$$P\{Z=n\}=P\{XY=n\}=P\left\{X=\frac{n}{\left|n\right|},Y=\left|n\right|\right\}$$ $$=P\left\{X=\frac{n}{\left|n\right|}\right\}P\{Y=\left|n\right|\}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\lambda }^{|n|}}{\left|n\right|!}{e}^{-\lambda }$$

5.3

假设随机变量 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 相互独立且同分布, $\left(i=1,2,3,4\right)$

• $P\left\{X_i=0\right\}=0.6$,
• $P\left\{X_i=1\right\}=0.4$,

求行列式 $X=\left|\begin{array}{ll}{X}_1& X_2\\ X_3& X_4\end{array}\right|$ 的概率分布.

解

记 $Y_1=X_1{X}_4$, $Y_2=X_2{X}_3$, 则 $X=Y_1-Y_2$, 随机变量 $Y_1$ 和 $Y_2$ 独立同分布.

$$P\left\{Y_1=1\right\}=P\left\{Y_2=1\right\}=P\left\{X_2=1,X_3=1\right\}=0.16$$ $$P\left\{Y_1=0\right\}=P\left\{Y_2=0\right\}=1-0.16=0.84$$

随机变量 $X=Y_1-Y_2$ 有三个可能值 $-1,0,1$, 易见

$$P\{X=-1\}=P\left\{Y_1=0,Y_2=1\right\}=0.84\times 0.16=0.1344$$ $$P\{X=1\}=P\left\{Y_1=1,Y_2=0\right\}=0.16\times 0.84=0.1344$$ $$P\{X=0\}=1-2\times 0.1344=0.7312$$

于是行列式的概率分布为

$$X=\left|\begin{array}{ll}{X}_1& X_2\\ X_3& X_4\end{array}\right|\sim \left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0.1344& 0.7312& 0.1344\end{array}\right]$$

点评

本题将概率论及线性代数很好地结合在一起,有一定的参考价值. 先将行列式求出, 再引入中间变量 $Y_1\text{、}{Y}_2$ 并求出其分布,则问题可解决.

5.4

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布,且 $X$ 的概率分布为

$X$	1	2
$P(X)$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$

$Y$	1	2
$P(Y)$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$

记 $U=\max \{X,Y\},V=\min \{X,Y\}$,求 $\left(U,V\right)$ 的概率分布.

解

$\left(U,V\right)$ 有三个可能值: $\left(1,1\right),\left(2,1\right),\left(2,2\right)$,而

$$P\{U=1,V=1\}=P\{X=1,Y=1\}=P\{X=1\}P\{Y=1\}=\frac{4}{9},$$ $$P\{U=2,V=1\}=P\{X=1,Y=2\}+P\{X=2,Y=1\}=\frac{4}{9},$$ $$P\{U=2,V=2\}=P\{X=2,Y=2\}=P\{X=2\}P\{Y=2\}=\frac{1}{9},$$

故 $\left(U,V\right)$ 的概率分布为

$U,V$	1	2
1	$\frac{4}{9}$	0
2	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$

5.5

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率分布为其中 $a,b,c$ 为常数,且 $X$ 的数学期望 $EX=-0.2,P\{Y\le 0\mid X\le 0\}=0.5$,记 $Z=X+Y$,求 (1) $a,b,c$ 的值; (2) $Z$ 的概率分布; (3) $P\{X=Z\}$.

Y $X$	-1	0	1
-1	$a$	0	0.2
0	0.1	$b$	0.2
1	0	0.1	$c$

解 (1) 由概率分布的性质知, $a+b+c+0.6=1$,即

$$a+b+c=0.4\text{.}$$

由 $EX=-0.2$,可得

$-a+c=-0.1$ (由第四章知识可得)

再由 $P\{Y\le 0\mid X\le 0\}=\frac{P\{X\le 0,Y\le 0\}}{P\{X\le 0\}}=\frac{a+b+0.1}{a+b+0.5}=0.5$,得

$$a+b=0.3$$

解以上关于 $a,b,c$ 的三个方程得

$$a=0.2,b=0.1,c=0.1.$$

(2) $Z$ 的可能取值为 $-2,-1,0,1,2$,

$$P\{Z=-2\}=P\{X=-1,Y=-1\}=0.2,$$ $$P\{Z=-1\}=P\{X=-1,Y=0\}+P\{X=0,Y=-1\}=0.1,$$

$P\{Z=0\}=P\{X=-1,Y=1\}+P\{X=0,Y=0\}+P\{X=1,Y=-1\}=0.3$

$$P\{Z=1\}=P\{X=1,Y=0\}+P\{X=0,Y=1\}=0.3,$$ $$P\{Z=2\}=P\{X=1,Y=1\}=0.1,$$

即 $Z$ 的概率分布为

$Z$	-2	-1	0	1	2
$P$	0.2	0.1	0.3	0.3	0.1

(3) $P\{X=Z\}=P\{Y=0\}=0+b+0.1=0.1+0.1=0.2$.