题型 3. 分布函数与概率密度的转化

1.5

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的联合分布函数为

$$F\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}1-3^{-x}-3^{-y}+3^{-x-y},& x\ge 0,y\ge 0\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

则二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的联合密度 $\phi \left(x,y\right)$ 为_____.

解

可以验证这是二维连续型随机变量的分布函数, 由公式:

$$\phi \left(x,y\right)=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}$$

有

$$\frac{\partial F}{\partial x}=3^{-x}\ln 3-3^{-x-y}\ln 3\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}=3^{-x-y}{\left(\ln 3\right)}^2$$

故 $\phi \left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}{3}^{-x-y}{\left(\ln 3\right)}^2,& x\ge 0,y\ge 0\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$

1.6

设随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{cc}A{\mathrm{e}}^{-\left(3x+4y\right)},& x>0,y>0\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

求:

1. A 的值;
2. $\left(X,Y\right)$ 的联合分布函数 $F\left(x,y\right)$;
3. $\left(X,Y\right)$ 落在 $G=\{\left(x,y\right)\mid 0<x\le 1,0<y\le 2\}$ 中的概率.

解

1

由 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$,可得 $\frac{A}{12}=1$,故 $A=12$.

2

分情况讨论分布函数 $F\left(x,y\right)$.

2.1

当 $x>0,y>0$ 时,

$F\left(x,y\right)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^x{\int }_0^{y}12{\mathrm{e}}^{-\left(3x+4y\right)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\left(1-{\mathrm{e}}^{-3x}\right)\left(1-{\mathrm{e}}^{-4y}\right).$

2.2

当 $x,y$ 属于其他范围时 $f\left(x,y\right)=0$, $F\left(x,y\right)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}0\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$.

所以 $F\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\left(1-{\mathrm{e}}^{-3x}\right)\left(1-{\mathrm{e}}^{-4y}\right),& x>0,y>0\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$

3

方法一 利用概率密度:

$$\begin{array}{rl}P\{0<X\le 1,0<Y\le 2\}& ={\int }_0^1{\int }_0^{2}12e^{-(3x+4y)}dxdy\\ & ={\int }_0^1{e}^{-3x}dx{\int }_0^{2}12e^{-4y}dy\\ & =(1-e^{-3})(1-e^{-8}).\end{array}$$

方法二 利用分布函数:

由 $F\left(x,y\right)$ 的性质可知

$$\begin{array}{rl}P\{0<X\le 1,0<Y\le 2\}& =F(1,2)-F(1,0)-F(0,2)+F(0,0)\\ & =(1-e^{-3})(1-e^{-8}).\end{array}$$

点评

在求解二维随机变量在某矩形域的概率时可采用直接计算概率密度函数在矩形域的积分,也可采用分布函数计算,根据具体问题选择不同方法. 注意:非矩形域只能用方法一.