3.3.1 二维连续型随机向量的联合密度函数及边缘分布密度函数

依定义 3.1.4 (离散连续随机向量), 若二维随机向量(X, Y),为连续型随机向量, 则其分布函数

F_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{x} \int_{- \infty}^{y} f_{X, Y} (u, v) d u d v, (x, y) \in R^{2} .

显然,分布密度函数 $f_{X, Y}$ 满足

$f_{X, Y} (x, y) \geq 0, (x, y) \in R^{2}$ .
${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{X, Y}\left( {u, v}\right) \mathrm{d}u\mathrm{\;d}v = 1. \tag{3.3.1}$
对二维平面的任何区域 $D$ 有 $P\left( {\left( {X, Y}\right) \in D}\right) = {\iint }_{D}{f}_{X, Y}\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y. \tag{3.3.2}$
$X$ 和 $Y$ 的边缘分布密度函数分别为 ${f}_{X}\left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{X, Y}\left( {x, y}\right) \mathrm{d}y,\;{f}_{Y}\left( y\right) = {\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{X, Y}\left( {x, y}\right) \mathrm{d}x. \tag{3.3.3}$

显然, 在几何概型中若记 $(X, Y)$ 为落点在 $D$ 内的坐标, 则 $(X, Y)$ 服从 $D$ 上的均匀分布. 我们来看一个具体例子.

Youliang Zhong