题型 1. 求离散型随机变量的数学期望

1.1

一批零件中有 9 个合格品及 3 个废品, 从中每次任取一个, 如果是废品不再放回, 求取得合格品以前已取出的废品数的数学期望.

解

设废品数为 $X$,可求出 $X$ 的分布律为:

$X$	0	1	2	3
$P$	$\frac{9}{12}$	$\frac{9}{44}$	$\frac{9}{220}$	$\frac{1}{220}$

则 $E\left(X\right)=\sum _i{x}_i{p}_i=0\times \frac{9}{12}+1\times \frac{9}{44}+2\times \frac{9}{220}+3\times \frac{1}{220}=0.3$.

1.2

设离散型随机变量 $X$ 的分布律为: $P\left\{X=2^k\right\}=\frac{2}{3^k},k=1,2,\cdots ,$ 则 $E\left(X\right)=$ _____.

解

$E\left(X\right)=\sum x_k{p}_k=\sum _{k=1}^{\infty }{2}^k\cdot \frac{2}{3^k}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^k=\frac{2\times \frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=4$.

1.3

设随机变量 $X$ 的分布律为 $P\left\{X={\left(-1\right)}^{k}k\right\}=\frac{1}{k\left(k+1\right)}\left(k=1,2,\cdots \right).$ 求 $X$ 的数学期望.

分析

离散型随机变量期望存在的条件是级数绝对收敛.

解

因为 $\sum _{k=1}^{\infty }\left|x_k{p}_k\right|=\sum _{k=1}^{\infty }\left|{\left(-1\right)}^{k}k\cdot \frac{1}{k\left(k+1\right)}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k+1}$.

考察级数 $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k+1}$, 由高等数学级数敛散性知识可知此级数是发散的.

所以级数 $\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$ 不绝对收敛, 故 $X$ 的数学期望不存在.

解释

级数

$$\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^k\frac{1}{k+1}$$

是一个交错级数，它的收敛性和极限值可能依赖于求和的顺序。 这是由于条件收敛的级数在改变求和顺序时可能导致不同的极限值（即黎曼重排定理）。

1. 按原始顺序求和

按照自然顺序求和，即

$$S=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\cdots$$

这个级数是条件收敛的。

2. 改变求和顺序

我们可以采用另一种顺序，例如，每次先取两个负项再取一个正项：

$$\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}\right)+\left(-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\frac{1}{7}\right)+\cdots$$

这种求和顺序可能会导致不同的极限值，甚至趋向无穷。

这说明该级数的求和顺序影响其收敛值，因此它依赖于求和的顺序。