1. 离散型随机变量的数学期望

我们先从离散型随机变量的一个例子入手来分析.

• 例子 (射手环数)

由此看来, 以下关于离散型随机变量的数学期望的定义是合理的.

定义 4.1.1 (离散型随机变量的数学期望)

设离散型随机变量 $X$ 的概率分布列 $P\left(X=x_i\right)=p_i$, $i=1,2,\cdots$. 若级数 $\sum _{i=1}^{\infty }\left|x_i\right|p_i$ 收敛, 则称 $X$ 数学期望存在, 并称

$$E\left[X\right]=\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i{p}_i\text{\hspace{1em}(4.1.1)}$$

为 $X$ 的数学期望 (或均值), 简称为 $X$ 的期望.

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此定义中要求级数 $\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i{p}_i$ 绝对收敛是因为 $x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots$ 等数字的平均值应与其排列的次序无关.

对于离散型随机变量的函数的数学期望, 容易得到下面的结论.

设离散型随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\left(X=x_i\right)=p_i$, $i=1,2,\cdots g$ 为实变量的实值函数, 且 $\sum _{i=1}^{\infty }\left|g\left(x_i\right)\right|p_i$ 收敛, 则

$$E\left[g\left(X\right)\right]=\sum _{i=1}^{\infty }g\left(x_i\right)p_i\text{\hspace{1em}(4.1.2)}$$

公式 (4.1.2) 告诉我们, 为要计算 $E\left[g\left(X\right)\right]$, 无需先求得 $g\left(X\right)$ 的分布列.

下面我们通过例子计算几类重要离散型随机变量的数学期望.

• 例 4.1.1 (二项分布的数学期望)
• 例 4.1.2 (泊松分布的数学期望)
• 例 4.1.3 (一般离散随机变量的数学期望)
• 1.2
• 1.3