题型 3. 随机变量函数的数学期望

1.7

设随机变量 $X$ 的分布律为

$X$	-2	0	2
$P$	0.4	0.3	0.3

求 $E\left(X\right),E\left(X^2\right),E\left(3X^2+5\right)$.

解

$E\left(X\right)=\left(-2\right)\times 0.4+0\times 0.3+2\times 0.3=-0.2$

$E\left(X^2\right)={\left(-2\right)}^2\times 0.4\times +0^2\times 0.3+2^2\times 0.3=2.8$

$$\begin{array}{rl}E\left(3X^2+5\right)& =\left[3\times {\left(-2\right)}^2+5\right]\times 0.4+\left[3\times 0^2+5\right]\times 0.3+\left[3\times 2^2+5\right]\times 0.3\\ & =13.4\end{array}$$

或由期望的性质

$$E\left(3X^2+5\right)=3E\left(X^2\right)+5=3\times 2.8+5=13.4.$$

1.8

设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$

求 (1) $Y=2X$;

(2) $Y={\mathrm{e}}^{-2X}$ 的数学期望.

解

(1)

$$\begin{array}{rl}E\left(Y\right)& =E\left(2X\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }2xf\left(x\right)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{+\infty }2x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=2\end{array}$$

(2)

$$\begin{array}{rl}E\left(Y\right)& =E\left({\mathrm{e}}^{-2X}\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-2x}f\left(x\right)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-2x}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\end{array}$$

1.9

设二维随机变量的联合分布列为

Y \ X	1	2
1	0.25	0.32
2	0.08	0.35
求 $E\left(X^2+Y\right)$.

解

由公式 $E\left[g\left(X,Y\right)\right]=\sum _i\sum _{j}g\left(x_i,y_j\right)p_{ij}$ :

$$\begin{array}{rl}E\left(X^2+Y\right)& =\left(1^2+1\right)\times 0.25+\left(1^2+2\right)\times 0.32+\left(2^2+1\right)\times 0.08+\left(2^2+2\right)\times 0.35\\ & =3.96.\end{array}$$

1.10

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的联合分布密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{cc}x+y,& 0\le x\le 1,0\le y\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

求 $E\left(XY\right),E\left(X\right),E\left(Y\right)$.

解

由公式 $E\left[g\left(X,Y\right)\right]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g\left(x,y\right)f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

$$\begin{array}{rl}E\left(XY\right)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xyf\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_0^1{\int }_0^{1}xy\left(x+y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{3}.\end{array}$$

求 $E\left(X\right)$ 与 $E\left(Y\right)$ 有两种方法:

方法一

先求出 $f_X\left(x\right),f_Y\left(y\right)$,利用公式

$$E\left(X\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x$$

求出结论

$$f_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y=\{\begin{array}{ll}x+\frac{1}{2},& 0\le x\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$ $$E\left(X\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}x\left(x+\frac{1}{2}\right)\mathrm{d}x=\frac{7}{12}$$

同理可求 $E\left(Y\right)=\frac{7}{12}$

方法二

直接使用 $E\left[g\left(X,Y\right)\right]$ 公式

$$E\left(X\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xf\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{7}{12}$$ $$E\left(Y\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }yf\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{7}{12}.$$

点评

当已知 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度 $f\left(x,y\right)$, 求 $E\left(X\right)\text{、}E\left(Y\right)$ 时方法二简便.

1.11

假设随机变量 $Y$ 服从参数为 $\lambda =1$ 的指数分布,随机变量

$$X_k=\{\begin{array}{ll}0,& Y\le k\\ 1,& Y>k\end{array}\left(k=1,2\right)$$

(1) 求 $X_1$ 和 $X_2$ 的联合概率分布；

(2) 求 $E\left(X_1+X_2\right)$.

解

(1)

$Y$ 的分布函数为 $F\left(y\right)=1-{\mathrm{e}}^{-y}\left(y>0\right),F\left(y\right)=0\left(y\le 0\right)$.

$\left(X_1,X_2\right)$ 有四个可能值: $\left(0,0\right),\left(0,1\right),\left(1,0\right),\left(1,1\right)$.

易见

$$\begin{array}{rl}P\left\{X_1=0,X_2=0\right\}& =P\{Y\le 1,Y\le 2\}=P\{Y\le 1\}=1-{\mathrm{e}}^{-1}\\ P\left\{X_1=0,X_2=1\right\}& =P\{Y\le 1,Y>2\}=0\\ P\left\{X_1=1,X_2=0\right\}& =P\{Y>1,Y\le 2\}=P\{1<Y\le 2\}={\mathrm{e}}^{-1}-{\mathrm{e}}^{-2}\\ P\left\{X_1=1,X_2=1\right\}& =P\{Y>1,Y>2\}=P\{Y>2\}={\mathrm{e}}^{-2}\end{array}$$

于是, $X_1$ 和 $X_2$ 的联合概率分布表如下:

$X_1$	0	1
0	$1-{\mathrm{e}}^{-1}$	${\mathrm{e}}^{-1}-{\mathrm{e}}^{-2}$
1	0	${\mathrm{e}}^{-2}$

(2)

易见, $X_k\left(k=1,2\right)$ 服从 $0-1$ 分布:

$$X_k\sim \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ P\{Y\le k\}& P\{Y>k\}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1-{\mathrm{e}}^{-k}& {\mathrm{e}}^{-k}\end{array}\right]$$

因此 $E{X}_k=1\times {\mathrm{e}}^{-k}={\mathrm{e}}^{-k}\left(k=1,2\right)$

则 $E\left(X_1+X_2\right)=E{X}_1+E{X}_2={\mathrm{e}}^{-1}+{\mathrm{e}}^{-2}$.

点评

第二问中 $E\left(X_1+X_2\right)$ 也可以利用公式

$$E\left[g\left(X,Y\right)\right]=\sum _i\sum _{j}g\left(x_i,y_j\right)p_{ij}$$

直接计算得:

$$E\left(X_1+X_2\right)=1\times \left({\mathrm{e}}^{-1}-{\mathrm{e}}^{-2}\right)+2\times {\mathrm{e}}^{-2}={\mathrm{e}}^{-1}+{\mathrm{e}}^{-2}.$$